徒步自由行

1.(1+x)^n=a0 + a1 x + a2 x^2+.....+an x^n，若 2a 4 = 3a (n-6) ，求 n

a4=C(n,4)

a(n-6)=C(n,n-6)=C(n,6)

2 C(n,4)= 3 C (n,6)

2×[n(n-1)(n-2)(n-3)]/4!=3×[ n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)]/6!

2=3× (n-4)(n-5)/5×6

20=(n-4)(n-5) , n=9

2.

求(1+x^2)+(1+x^2)^2+....+(1+x^2)^n 展開式中x^6之系數，但n≧3

等比級數和：

(1+x^2)[ (1+x^2)^n  -  1 ]/[ (1+x^2) -1]

=[ (1+x^2)^(n+1)  -  (1+x^2) ]/x^2

(1+x^2)^(n+1)的x^8的項

=C(n+1,4)(x^2)^4=(n+1)n(n-1)(n-2)/4! × x^8

系數=(n+1)n(n-1)(n-2)/24

3.

若(ax+b)^(2n) 與 (bx+a)^(2n-1)展式中x^n 係數相等，求a

C(2n,n)(ax)^n b^n = C(2n-1,n)(bx)^na^(n-1)

a×C(2n,n)= C(2n-1,n)

a×2n!/[n! ×n!]=(2n-1)!/[n!×(n-1)!]

(a×2n)/n=1  ,  a=1/2

4.

若(1+x+x^2+......+x^18)^10的展式中 x^15 項之係數為C(n,9)，求n

(1+x+x^2+....+x^18) (1+x+x^2+....+x^18)....... (1+x+x^2+....+x^18)

第1個括弧取，x^(a1)

第2個括弧取，x^(a2)

第3個括弧取，x^(a3)

.........

........

第10個括弧取，x^(a10)

a1+a2+a3+.......+a10=15

a1,a2,a3,.....a10 為非負整數

H(10,15)=C(24,15)=C(24,9)

n=24

5.

求(3x+5y)^40 展式中 ，係數最大者為第幾項  [93雄中]

[若第k項最大，則第k-1項≦第k項，且第k+1項≦第k項]

ak=C(40,k-1)×3^(41-k)×5^(k-1)

a(k+1)=C(40,k)×3^(40-k)×5^k

ak≧a(k+1)

C(40,k-1)×3^(41-k)×5^(k-1)≧C(40,k)×3^(40-k)×5^k

C(40,k-1)×3≧C(40,k)×5

[40!]/[(k-1)!×(41-k)!]×3≧[40!]/[k!×(40-k)!]×5

3k≧5(41-k) , k≧205/8

ak≧a(k-1)

C(40,k-1)×3^(41-k)×5^(k-1) ≧C(40,k-2)×3^(42-k)×5^(k-2)

5× 40!/[(k-1)!×(41-k)!]≧3×40!/[(k-2)!×(42-k)!]

5/(k-1)≧3/(42-k)

k≦213/8

205/8≦k≦213/8

25.625≦k≦26.625

k=26

6.

若C(n,0)+ 3C (n,1)+ 5C (n,2)+.......+(2n+1)C(n,n) = 2304，求n=？

∑(k=0 , n) (2k+1)C(n,k)

=∑(k=0 , n) (2k+1) × n!/[k!×(n-k)!]

=∑(k=0 , n) (2k) × n!/[k!×(n-k)!] + ∑(k=0 , n) n!/[k!×(n-k)!]

=∑(k=1 , n) 2n×(n-1)!/[(k-1)!×(n-k)!] + 2^n

= 2n×2^(n-1) + 2^n

= (n+1)2^n

(n+1)2^n = 2304  因此  n=8

7.求滿足 C(n,1)+ 2C (n,2)+ 3C (n,3)+......+nC(n,n)＞10000的最小自然數n

∑(k=1 , n)  k×C(n,k)

=∑(k=1 , n)  k×n!/[k!×(n-k)!]

=n ∑(k=1 , n)  (n-1)!/[(k-1)!×(n-k)!]

=n ∑(k=1 , n) C(n-1 ,k-1)

=n×2^(n-1)

n最小=11

8.

求∑(k=0 , 49) (-1)^k C(99,2k)=

(A)-2^50  (B) -2^49  (C) 0  (D) 2^49  (E) 2^50  [AMC 試題 ]

(1+i)^99

=1^99+C(99,1)i – C(99,2) – C(99,3) i+C(99,4)+.....-C(99,99)i

實部= 1-C(99,2)+C(99,4).....-C(99,98)=所求

又

(1+i)^99=[√2(cos45 + i sin45)]^99

=2^49×[√2] (cos45×99 + i sin45×99)]

=2^49×[√2] (cos135 + i sin135)]

=2^49×[√2] (-1/√2  -1/√2  i)

=2^49 (-1 - i)

實部 = -2^49

9.

(1) 求2C(n,2) + 9C (n,3) + 12C (n,4) + 5C (n,5) =？

方法：k×C(n,k)=n×C(n-1,k-1)

2C(n,2)+3×3C(n,3) + 3×4C(n,4) + 5C (n,5)

=n×1×C(n-1,1)+3×n×C(n-1,2) + 3n C(n-1,3) + n×C(n-1,4)

=n×[C(3,3)×C(n-1,1)+C(3,2) C(n-1,2) +C(3,1) C(n-1,3) +C(3,0)×C(n-1,4)]

[C(3,3)×C(n-1,1)+C(3,2) C(n-1,2) +C(3,1) C(n-1,3) +C(3,0)×C(n-1,4)]等同：

(x+y)^3 (x+y)^n-1 求 x^4 項的系數

=(x+y)^(n+2) 的x^4 項系數= C(n+2 , 4)

所求 =n× C(n+2 , 4)=n×[(n+2)(n+1)n(n-1)]/24= [n^2(n+2)(n+1)(n-1)]/24

(2) 求C(12,0)+ 2C (12,1)+ 3C (12,2)+..........+ 13C (12,12)=？

∑(k=1 , 13)  (k+1) C(12,k-1)

=∑(k=1 , 13)  k C(12,k-1)+  ∑(k=1 , 13) C(12,k-1)

=12 ∑(k=2 , 13) C(11,k-2) +  2^12

=12×2^11 +  2^12

=7×2^12=7×4×1024=28672

(3) 若C(n,0)+(1/2)C(1)+(1/4)C(n,2)+......+(1/2^n) C(n,n)＞100，求最小正整數n値

(1+ 1/2)^n ＞ 100

n(3/2) ＞ 100

n log(3/2) ＞ 2

n＞ 2/(0.4771-0.3010)= 11.357..

n最小 12

10.

若n為大於1之正整數，試證：(2+√3)^n 之整數部分必為奇數。

(2+√3)^n =2^n+C(n,1)2^(n-1)√3+C(n,2)2^(n-2)×3+.....+C(n,n)[√3]^n

(2-√3)^n =2^n-C(n,1)2^(n-1)√3+C(n,2)2^(n-2)×3+.....+C(n,n)[-√3]^n

相加

(2+√3)^n + (2-√3)^n =

2[2^n+C(n,2)2^(n-2)×3+ C(n,4)2^(n-4)×3^2.....]

此為偶數

又0＜ (2-√3)^n ＜1

因此(2+√3)^n = 偶數 - (2-√3)^n

其整數部分必為奇數